5. Das elektrostatische Feld

Abb. 1: John Tra-Voltage

Aus dem Alltag ist bekannt, dass es verschiedene Ladungen und Effekte der Ladung gibt. In Abbildung 1 ist die Aufladung einer Person durch Ladungstrennung zwischen Fußsohle und Fußboden zu sehen. Durch die Bewegung des Fußes wird eine negative Überschussladungen in der Person erzeugt, welche sich allmählich im Körper verteilt. Wird ein spitzer Teil des Körpers (z.B. Finger) in die Nähe eines Ladungsspeichers ohne Überschussladungen gebracht, so kann ein Strom selbst durch die Luft fließen.

Im ersten Kapitel hatten wir bereits die Ladung als zentrale Größe der Elektrizität betrachtet und als Vielfaches der Elementarladung verstanden. Die gegenseitige Kraftwirkung (die Coulomb-Kraft) wurde dort bereits hergeleitet. Diese soll nun näher erläutert werden.

Zunächst aber eine Differenzierung verschiedener Begriffe:

  1. Elektrizität beschreibt als Überbegriff alle Phänomene von bewegten und ruhenden Ladungen.

  2. Elektrostatik beschreibt die Phänomene von ruhenden Ladungen und damit von sich zeitlich nicht verändernden elektrischen Feldern. Es gibt hier also keine Zeitabhängigkeit der elektrischen Größen.
    Mathematisch gilt: ${{df}\over{dt}}=0$ für jede Funktion der elektrischen Größen.

  3. Elektrodynamik beschreibt die Phänomene von bewegten Ladungen. Damit umfass die Elektrodynamik sowohl sich sich zeitlich verändernde elektrische Felder, als auch magnetische Felder. Als Begründung für letzteres soll hier zunächst ausreichen, dass Magnetfelder auf einem Strom bzw. auf eine Ladungsbewegung beruhen.
    Mathematisch gilt hier nicht mehr für jede Funktion der elektrischen Größen zwangsläufig, dass die Ableitung gleich null ist.
    Die Elektrodynamik wird in diesem Kapitel nicht betrachtet und erst schrittweise in den folgenden Kapiteln und in Elektrotechnik 2 eingeführt.

Ziele

Nach dieser Lektion sollten Sie:

  1. wissen, dass sich um eine Ladung ein elektrisches Feld bildet.
  2. die Feldlinien des elektrischen Feldes skizzieren können.
  3. bei Vorgabe mehrerer Ladungen in der Lage sein, die Feldstärkevektoren in einer Skizze darzustellen.
  4. durch Überlagerung mehrerer Feldstärkevektoren mit Hilfe der Vektorrechnung den resultierenden Feldstärkevektor bestimmen können.
  5. durch Anwendung des Coulombschen Gesetzes die Kraft auf eine Ladung in einem elektrostatischen Feld bestimmen können. Im Speziellen:
    1. den Kraftvektor in Koordinatendarstellung
    2. den Betrag des Kraftvektors
    3. den Winkel des Kraftvektors

Abb. 2: Aufbau für eigene Versuche

Nehmen Sie eine Ladung ($+1nC$) und positionieren Sie diese.
Messen Sie das Feld über eine Probeladung (einen Sensor) aus.

Die Simulation in Abbildung 2 wurde bereits schon kurz im ersten Kapitel betrachtet. Hier soll damit aber auf eine andere Punkt eingegangen werden.

Positionieren Sie bitte in der Simulation eine negative Ladung $Q$ in der Mitte und deaktivieren Sie elektrische Feld. Letzteres geschieht über den Haken rechts. Nun ist die Situation realitätsnahe, da eine Ladung auf dem ersten Blick keine Wirkung zeigt.

Zur Wirkungsanalyse wird eine Probeladung $q$ in die Umgebung der vorhandenen Ladung $Q$ gebracht (in der Simulation wird die Probeladung „Sensoren“ genannt). Dabei wird beobachtet, dass die Ladung $Q$ eine Kraft auf die Probeladung bewirkt. Diese Kraft kann an jeder Stelle des Raumes mit Betrag und Richtung ermittelt werden. Sie wirkt im Raum ähnlich wie die Gravitation. Die Beschreibung des durch die Ladung $Q$ geänderten Zustands im Raum wird mit Hilfe eines Feldes beschrieben.

Der Begriff des Feldes soll nun kurz etwas näher betrachtet werden.

  1. Die Einführung des Feldes trennt die Ursache von der Wirkung.
    1. Die Ladung $Q$ verursacht das Feld im Raum
    2. Die Ladung $q$ im Raum spürt eine Kraft als Wirkung des Feldes.
    3. Diese Unterscheidung wird in diesem Kapitel nochmals wichtig.
      Auch bei der Elektrodynamik wird diese Unterscheidung deutlich: das Feld entspricht dort Photonen, also einer Wirkungsweitergabe mit der endlichen (Licht)geschwindigkeit $c$.
  2. Wie bei den physikalische Größen, gibt es verschieden-dimensionale Felder:
    1. Bei einem Skalarfeld wird jedem Punkt im Raum eine einzelne Zahl zugeordnet.
      z.B.
      1. Temperaturfeld $T(\vec{x})$ auf der Wetterkarte oder in einem Objekt
      2. Druckfeld $p(\vec{x})$
    2. Bei einem Vektorfeld wird jedem Punkt im Raum mehrere Zahlen in Form eines Vektors zugeordnet. Dieser spiegelt die Wirkung entlang der Raumkoordinaten wider.
      z.B.
      1. Gravitationsfeld $\vec{g}(\vec{x})$, welches zum Massezentrum des Objektes zeigt.
      2. elektrisches Feld $\vec{E}(\vec{x})$
      3. magnetisches Feld $\vec{H}(\vec{x})$
  3. Werden jedem Punkt im Raum eine zwei- oder mehrdimensionale physikalische Größe - also ein Tensor - zugeordnet, so wird dieses Feld ein Tensorfeld genannt. Tensorfelder sind in der Mechanik (z.B. Spannungstensor) relevant, aber für die Elektrotechnik nicht notwendig.

Vektorfelder können angegeben werden als:

  1. Wirkungen entlang der Raumachsen $x$,$y$ und $z$ (kartesisches Koordinatensystem)
  2. Wirkung in Betrag und Richtungsvektor (Polarkoordinatensystem)

Merke:

  1. Felder beschreiben einen physikalischen Zustand des Raumes.
  2. Dabei wird jedem Punkt im Raum eine physikalische Größe zugeordnet.
  3. Das elektrostatische Feld wird durch ein Vektorfeld beschrieben.

Um das elektrische Feld zu bestimmen, wird also nun ein Maß für die Stärke des Felds benötigt. Aus dem ersten Kapitel ist die Coulombkraft zwischen zwei Ladungen $Q_1$ und $Q_2$ bekannt:

\begin{align*} F_C = {{{1} \over {4\pi\cdot\varepsilon}} \cdot {{Q_1 \cdot Q_2} \over {r^2}}} \end{align*}

Um daraus ein Maß für die Stärke des elektrischen Felds zu erhalten, wird nun die Kraft auf eine (fiktive) Probeladung $q$ betrachtet.

\begin{align*} F_C &= {{{1} \over {4\pi\cdot\varepsilon}} \cdot {{Q_1 \cdot q} \over {r^2}}} \\ &= \underbrace{{{1} \over {4\pi\cdot\varepsilon}} \cdot {{Q_1} \over {r^2}}}_\text{=unabh. von q} \cdot q \\ \end{align*}

Der linke Teil ist also ein Maß für die Stärke des Feldes, d.h. unabhängig von der Größe der Probeladung $q$. Die Stärke des elektrischen Feldes ist also gegeben über

$E = {{1} \over {4\pi\cdot\varepsilon}} \cdot {{Q_1} \over {r^2}} \quad$ mit $[E]={{[F]}\over{[q]}}=1 {{N}\over{As}}=1 {{N\cdot m}\over{As \cdot m}} = 1 {{V \cdot A \cdot s}\over{As \cdot m}} = 1 {{V}\over{m}}$

Merke:

  1. Die Probeladung $q$ wird immer als positiv betrachtet. Sie wird nur als Gedankenexperiment verwendet und hat keine Rückwirkung auf die beprobte Ladung $Q$
  2. Die Probeladung ist eine Punktladung.

Merke:

Eine Ladung $Q$ erzeugt an einem Messpunkt $P$ eine elektrische Feldstärke $\vec{E(Q)}$, welche gegeben ist durch
  1. den Betrag $|E|=\Bigl| {{1} \over {4\pi\cdot\varepsilon}} \cdot {{Q_1} \over {r^2}} \Bigl| $ und
  2. die Richtung der Kraft $\vec{F_C}$ auf eine ruhende Probeladung im Messpunkt $P$.
    Diese ist durch den Einheitsvektor $\vec{e_r}={{\vec{F_C}}\over{|F_C|}}$ in diese Richtung gegeben.

Die Richtung des elektrischen Feldes ist in Abbildung 2 über den die Option „Elektrisches Feld“ rechts zuschaltbar.
Das elektrische Feld kann auch in diesem Video nochmals betrachtet werden.

Abb. 3: Beispiele für Feldlinien
elektrotechnik_1:beispielefuerfeldlinien.png

Überlagerung von Feldern
(CC-BY-SA 4.0: MINT Brückenkurs)

Abb. 4: Beispiel für Superposition

Zur Betrachtung der Animation: hier klicken!

Elektrische Feldlinien ergeben sich als der (fiktive) Weg einer Probeladung. Damit sind auch elektrische Feldlinien von mehreren Ladungen ermittelbar. Diese ergeben sich aber auch durch eine Superposition der einzelnen Wirkungen - also Feldstärken - an einem Messpunkt $P$.

Die Überlagerung ist in Abbildung 3 skizziert und kann in der Simulation in Abbildung 4 nochmals betrachtet werden. Zudem wird dies im Video rechts nochmals detaillierter beschrieben.

Merke:

  1. Das elektrostatische Feld ist ein Quellenfeld. Das bedeutet es gibt Quellen und Senken.
    Dies ist gleich zu setzen mit: Die elektrischen Feldlinien haben einen Anfang (an einer positiven Ladung) und ein Ende (an einer negativen Ladung).
  2. Aus den Feldlinienbildern kann folgendes entnommen werden:
    1. Richtung des Feldes ($\hat{=}$ Tangente an die Feldlinie)
    2. Betrag des Feldes ($\hat{=}$ Anzahl der Feldlinien pro Flächeneinheit)
  3. Der Betrag der Feldstärke entlang einer Feldlinie ist in der Regel nicht konstant.

Aufgabe 5.1.1 Beispielaufgaben für das elektrische Feld

Aufgabe 5.1.2 Feldlinien

Abb. 5: Aufgabe zu Feldlinien
elektrotechnik_1:aufgabezufeldlinien.png

Skizzieren Sie den Feldlinienverlauf für die in Abbildung 5 angegebenen Ladungskonfigurationen.
Beachten Sie:

  • Es ist das überlagerte Bild gesucht
  • Achten Sie darauf, dass es sich um ein Quellenfeld handelt

Ziele

Nach dieser Lektion sollten Sie:

  1. die Richtung der Kräfte anhand gegebener Ladungen bestimmen können.
  2. die wirkenden Kraftvektoren in einer Skizze darstellen können.
  3. in der Lage sein, einen Kraftvektor durch Überlagerung mehrerer Kraftvektoren mit Hilfe der Vektorrechnung zu bestimmen
  4. in der Lage sein, für einen Kraftvektor folgende Größen anzugeben:
    1. Kraftvektor in Koordinatendarstellung
    2. Betrag des Kraftvektors
    3. Winkel des Kraftvektors

Die elektrische Ladung und Coulombkraft wurde bereits im 1. Kapitel beschrieben. Jedoch sollen hier einige Punkte dazu nachgeholt werden.

Abb. 6: Richtung der Coulombkraft
elektrotechnik_1:richtungdercoulombkraft.png

Beim der Kraft wurde bisher zwar die Richtung betrachtet, z.B. Richtung auf die Probeladung, aber für zukünftige Erklärungen ist es wichtig die Ursache-Wirkung mit in die Benennung aufzunehmen. In Abbildung 6 (a) und (b) ist die Konvention nochmals dargestellt: Eine Kraft $\vec{_{21}}$ wirkt auf Ladung $Q_2$ und wird verursacht durch Ladung $Q_1$. Als Eselsbrücke kann man sich „Spitze-Fuß“ merken (erst die Wirkung, dann die Ursache).

Weiterhin können auch mehrere Kräfte an einer Ladung zu einer resultierenden Kraft überlagert werden. Streng genommen muss dazu gelten, dass $\varepsilon$ im Aufbau konstant ist. So wird z.B. die resultierende Kraft in Abbildung 6 Bild © an $Q_3$ gleich: $\vec{F_3}= \vec{F_{31}}+\vec{F_{32}}$.

In vorherigen Kapiteln wurden nur einzelne Ladungen (z.B. $Q_1$, $Q_2$) betrachtet.

  • Die Ladung $Q$ wurde bisher auf eine Punktladung reduziert.

    Abb. 7: Feldlinien von verschiedenen, ausgedehnten, geladenen Objekten


    Dies kann zum Beispiel für die Elementarladung oder für ausgedehnte, geladene Objekte aus großer Entfernung verwendet werden. Hinreichend groß ist die Entfernung dann, wenn das Verhältnis zwischen größter Objektausdehnung und dem Abstand zum Messpunkt $P$ klein ist.

  • Sind die Ladungen entlang einer Linie aufgereiht, so spricht man von einer Linienladung.
    Beispiele hierzu sind eine gerade Leiterbahn auf einer Platine oder ein Drahtstück. Außerdem gilt dies auch für ein ausgedehntes, geladenes Objekt, welches genau eine Ausdehnung hat, die im Verhältnis zum Abstand nicht mehr klein ist. Hierzu wird die Ladung $Q$ als über die Linie verteilt betrachtet. Damit lässt sich eine (Linien-)Ladungsdichte $\rho_l$ ermitteln:

    $\rho_l = {{Q}\over{l}}$

    oder bei unterschiedlicher Ladungsdichte auf Teilstücken:

    $\rho_l = {{\Delta Q}\over{\Delta l}} \rightarrow \rho_l(l)={{d}\over{dl}} Q(l)$

  • Über eine Flächenladung wird gesprochen, wenn die Ladung über eine Fläche verteilt anzusehen ist.
    Beispiele hierzu sind der Fußboden oder eine Platte eines Kondensators. Auch hier kann ein ausgedehntes, geladenes Objekt betrachtet werden, wenn es zwei Ausdehnungen gibt, die im Verhältnis zum Abstand nicht mehr klein sind (z.B. Erdoberfläche). Auch hier ist eine (Flächen-)Ladungsdichte $\rho_A$ ermittelbar:

    $\rho_A = {{Q}\over{A}}$

    oder bei unterschiedlicher Ladungsdichte auf Teilflächen:

    $\rho_A = {{\Delta Q}\over{\Delta A}} \rightarrow \rho_A(A) ={{d}\over{dA}} Q(A)={{d}\over{dx}}{{d}\over{dy}} Q(A)$

  • Eine Raumladung ist schließlich der Begriff für Ladungen die sich über ein Volumen erstrecken.
    Hier sind Beispiele Plasmen oder Ladungen in ausgedehnten Objekten (z.B. im Halbleiter). wie bei den anderen Ladungsverteilungen kann hier eine (Raum-)Ladungsdichte $\rho_V$ berechnet werden:

    $\rho_V = {{Q}\over{V}}$

    oder bei unterschiedlicher Ladungsdichte in Teilvolumina:

    $\rho_V = {{\Delta Q}\over{\Delta V}} \rightarrow \rho_V(V) ={{d}\over{dV}} Q(V)={{d}\over{dx}}{{d}\over{dy}}{{d}\over{dz}} Q(V)$

Man unterscheidet zwei verschiedene Arten von Feldern:

Bei homogenen Feldern sind Betrag und Richtung im gesamten Feldbereich konstant. Diese Feldform ist idealisiert innerhalb von Plattenkondensatoren vorhanden. z.B. beim Plattenkondensator (Abbildung 8), oder in der Nähe von weit ausgedehnten Körpern.

Bei inhomogenen Feldern ändert sich Betrag und/oder Richtung der Feldstärke sich sich von Ort zu Ort. Dies ist der Regelfall in realen Systemen, auch das Feld einer Punktladung ist inhomogen (Abbildung 9).

Abb. 8: Feldlinien eines homogenen Felds
elektrotechnik_1:feldlinieneineshomogenenfelds.png

Abb. 9: Feldlinien eines inhomogenen Felds
elektrotechnik_1:feldlinieneinesinhomogenenfelds.png

Ziele

Nach dieser Lektion sollten Sie:

  1. wissen, wie die Arbeit im elektrostatischen Feld definiert ist.
  2. bei Bewegung einer Ladung beschreiben können, wann Arbeit anfällt und wann nicht.
  3. die Definition der elektrischen Spannung kennen und können diese in einem elektrischen Feld berechnen.
  4. verstanden haben, warum die Spannungsberechnung wegunabhängig ist
  5. wissen, was eine Potentialdifferenz ist und Äquipotentialflächen (-linien) erkennen bzw. diese angeben können
  6. für eine gegebene Anordnung sie einen Potentialverlauf bestimmen können.
  1. Arbeiten Sie vom Brückenkurs selbstständig das Kapitel „4.1.2 elektrisches Feldab Video 221 bis zum Ende der Aufgaben durch.
  2. Arbeiten Sie vom Brückenkurs selbstständig das Kapitel „4.1.3 Arbeit, Potential, Spannung“ bis zum Ende der Aufgaben und die Zusätzlichen Inhalte durch.

Ziele

Nach dieser Lektion sollten Sie:

  1. wissen, dass im elektrostatischen Feld in einem Leiter kein Strom fließt.
  2. wissen, wie sich Ladungen in einem Leiter im elektrostatischen Feld verteilen
  3. in der Lage sein, die Feldlinien an der Leiteroberfläche zu skizzieren.
  4. den Effekt der Influenz durch ein äußeres elektrisches Feld verstanden haben

Elektrische Felder von ausgedehnten Körpern
(CC-BY-SA 4.0: MINT Brückenkurs)

Der Faraday-Käfig
(CC-BY-SA 4.0: MINT Brückenkurs)

Feldlinien auf Oberflächen
(CC-BY-SA 4.0: MINT Brückenkurs)

Anwendung von Influenz: Schutzbeutel gegen elektrostatische Aufladung / Entladung (vgl. Video)

Aufgabe 1

Im Simulationsprogramm von Falstad können die Verläufe von Äquipotentialflächen und elektrischer Feldstärke an verschiedenen Objekten dargestellt werden.

  1. Öffnen Sie das Simulationsprogramm über den Link
  2. Wählen Sie: „Setup: cylinder in field“, „Floor: equipotentials“ und „Display: Field Vectors“
  3. Es wird nun das Feld eines unendlich langen Zylinders in einem homogenen elektrischen Feld im Schnitt angezeigt. Die durchgezogenen Linien zeigen die Äquipotenialflächen. Die kleinen Pfeile zeigen die elektrische Feldstärke an.
  4. Was lässt sich über die Potentialverteilung am Zylinder sagen?
  5. Auf der linken Hälfte treten die Feldlinien in den Körper ein, auf der rechte aus den Körper aus. Was lässt sich über die Ladungsträgerverteilung an der Oberfläche sagen? Prüfen Sie dazu auch die Darstellung „Color: charge“!
  6. Ist im Inneren des Körpers ein elektrisches Feld vorhanden? Prüfen Sie dazu auch die Darstellung „Floor: Field lines“!
  7. Ist dieser Zylinder metallisch, halbleitend oder isolierend?

Ziele

Nach dieser Lektion sollten Sie:

  1. wissen, wie man von einzelnen Ladungen auf den elektrischen Verschiebungsfluss kommt
  2. in der Lage sein für eine gegebene Fläche die Verschiebungsflussdichte einer Anordnung anzugeben
  3. kennen Sie die allgemeine Bedeutung des Gaußschen Satzes der Elektrostatik.
  4. sind in der Lage sein, eine geschlossene Hüllfläche geeignet zu wählen und den Gaußschen Satz anzuwenden

Die elektrische Verschiebungs(fluss)dichte

Ziele

Nach dieser Lektion sollten Sie:

  1. die beiden feldbeschreibenden Größen des elektrostatischen Feldes kennen
  2. in der Lage sein, den Zusammenhang dieser beiden Größen über das Materialgesetz zu beschreiben und anzuwenden
  3. die Wirkung eines elektrostatischen Feldes auf einen Isolator verstanden haben
  4. wissen, was der Effekt der dielektrischen Polarisation bewirkt
  5. den Begriff Durchschlagsfestigkeit auf eine Eigenschaft von Isolatoren zuordnen können und wissen was er bedeutet

Ziele

Nach dieser Lektion sollten Sie:

  1. wissen was ein Kondensator ist und wie die Kapazität definiert ist
  2. die grundlegenden Gleichungen zur Berechnung eines Kondensators kennen und diese anwenden können
  3. sich einen Plattenkondensator vorstellen können und Anwendungsbeispiele kennen Ebenso haben Sie eine Vorstellung davon, wie ein Zylinder- bzw. Kugelkondensator aussieht und welche Anwendungsbeispiele es dafür gibt
  4. wissen, wie in den drei vorgestellten Kondensatorformen die Verläufe von E-Feld, D-Feld und elektrischem Potential sind

Formel für verschiedene Kondensatorgeometrien

Unterschiedliche Dielektrika im Kondensator

Elektrolytkondensatoren können explodieren!

Ziele

Nach dieser Lektion sollten Sie:

  1. eine Reihenschaltung von Kondensatoren erkennen und sie von einer Parallelschaltung unterscheiden können
  2. in der Lage sein, die resultierende Gesamtkapazität einer Reihen- oder Parallelschaltung zu berechnen
  3. wissen, wie sich in einer Parallelschaltung die Gesamtladung auf die Einzelkondensatoren verteilt
  4. bei einer Reihenschaltung die Spannung an einem Einzelkondensator bestimmen können

Reihenschaltung von Kondensatoren

Parallelschaltung von Kondensatoren

Ziele

Nach dieser Lektion sollten Sie:

  1. eine Schichtung von Dielektrika erkennen und eine Querschichtung und eine Längsschichtung unterscheiden können
  2. wissen welche Größe bei einer Querschichtung konstant bleibt
  3. auch für eine Längsschichtung die konstante Größe kennen
  4. bekannt sein mit den Ersatzschaltungen für Quer- und Längsschichtung
  5. in der Lage sein, die Gesamtkapazität eines Kondensators mit Schichtung zu berechnen
  6. das Brechungsgesetz an Grenzflächen für die Feldlinien im elektrostatischen Feld kennen.

Feldlinien an Grenzflächen

Aufgabe zum geschichteten Kondensator



https://www.youtube.com/watch?v=vSeSHAmpd4Y

Aufgaben

Weiterführende Links

  • Online-Brückenkurs Physik KIT: Dieser halb-interaktive Kurs beinhaltet einen Teil der Informationen meines Kurses. Weiterhin sind Videos, Übungsaufgaben und mehr dort zu finden