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4_block_-_filterschaltungen_i

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4_block_-_filterschaltungen_i [2019/05/02 01:10] (current)
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 +====== 3.1 Darstellung von Zahlenwerten ======
 +
 +===== 3.1.1 Das dB-Maß =====
 +
 +++++Aufgabe 3.1.1. Umwandlung linearer Faktoren in dB|
 +
 +<WRAP center round help 80%>
 +
 +==== Aufgabe 3.1.1. Umwandlung linearer Faktoren in dB ====
 +
 +Leiten Sie für folgende Pegel in dB den linearen Faktor her. Geben Sie an, wie dieser Faktor jeweils über die Stützstellen 20 dB ≙ Faktor 10 und 6 dB ≙ Faktor 2 ermittelt werden kann. 
 +
 +Versuchen Sie die Aufgabe ohne Taschenrechner zu lösen (Hinweis: $\sqrt{2}\approx 1,414$, ${1\over\sqrt{2}}\approx 0,707$)
 +
 +Als Beispiel ist für den Wert 10 dB die Herleitung skizziert.
 +
 +^dB-Maß^über Stützstellen in dB^über Stützstellen linear^linearer Faktor|
 +|10 dB|$5 \cdot 6 dB - 20 dB$|$2^5 \cdot {1\over 10}$|$3,2$|
 +|2 dB|   ​| ​  ​| ​  |
 +|4 dB|   ​| ​  ​| ​  |
 +|6 dB|   ​| ​  ​| ​  |
 +|8 dB|   ​| ​  ​| ​  |
 +|12 dB|   ​| ​  ​| ​  |
 +|14 dB|   ​| ​  ​| ​  |
 +|16 dB|   ​| ​  ​| ​  |
 +|18 dB|   ​| ​  ​| ​  |
 +|15 dB|   ​| ​  ​| ​  |
 +|79 dB|   ​| ​  ​| ​  |
 +|128 dB|   ​| ​  ​| ​  |
 +
 +</​WRAP>​
 +
 +++++
 +
 +===== 3.1.2 Das Bode-Diagramm =====
 +
 +++++Aufgabe 3.1.2. Analyse von Schaltungen in Tina TI|
 +
 +<WRAP center round help 80%>
 +
 +==== Aufgabe 3.1.2. Analyse von Schaltungen in Tina TI====
 +
 +<WRAP right> {{  :​umkehrintegrator.jpg?​400|umkehrintegrator.jpg}}</​WRAP>​
 +
 +Gegeben sei nebenstehende Schaltung mit $R= 10 k\Omega$, $C = 1,6 uF$ und einer sinusförmigen Eingangsspannung $U_E = 1 V $ mit $f = 1 kHz$. Wie im Kurs beschrieben,​ lässt sich das Bode-Diagramm in Tina TI über Analysis > AC Analysis > AC Transfer Characteristic darstellen. Relevant sind im folgenden Frequenzen von 100 Hz bis 1 GHz.
 +
 +  - Simulieren Sie diese Schaltung in Tina TI \\ - mit einem idealen Operationsverstärker \\ - mit den Operationsverstärkern uA776, LM301A und LM318.
 +      - Fügen Sie das Bode-Diagramm an.
 +      - Beschreiben Sie kurz die Unterschiede im Amplitudenverlauf der Verstärkung $A_V$.
 +  - Was passiert, wenn statt $R= 10 k\Omega$, $C = 1,6 uF$ die gleiche Zeitkonstante mit $R= 10 M\Omega$, $C = 1,6 nF$ umgesetzt wird? Überprüfen Sie dies anhand des Vergleichs des Bode-Diagramms des Operationsverstärkers LM318.
 +  - Simulieren Sie einen invertierenden Verstärker in Tina TI. Ersetzen Sie dazu in der Schaltung den Kondensator durch einen Widerstand $R_2 = 10 k\Omega$ und verwenden Sie den Operationsverstärker LM318.
 +      - Fügen Sie das Bode-Diagramm an.
 +      - Wie sollte das Bode-Diagramm (Amplituden- und Phasengang) für einen idealen invertierenden Verstärker aussehen? Welche Abweichung stellen Sie beim realen Aufbau fest?
 +      - Bis zu welcher Frequenz lässt sich die Schaltung als invertierenden Verstärker betreiben (maximale Abweichung von 1dB)? Verwenden Sie Zoom und/oder Cursor zur Ermittlung.
 +  - Simulieren Sie einen open-loop Operationsverstärker LM318 (d.h. ohne Rückkopplungs-Netzwerk). Der nicht-invertierende Eingang soll dabei an Masse liegen. Am invertierenden Eingang soll die oben genannte sinusförmige Eingangsspannung anliegen.
 +      - Fügen Sie das Bode-Diagramm an.​​​​​​​
 +      - Welche Grenzfrequenz ergibt sich?
 +      - Mit wieviel dB pro Dekade fällt der Amplitudengang bei hohen Frequenzen ab?
 +
 +</​WRAP>​
 +
 +++++
 +
 +====== 3.2 Umkehrintegrator ======
 +
 +===== 3.2.1 Schaltungsanalyse mit Differentialgleichungen =====
 +
 +<WRAP right> {{  :​umkehrintegrator.jpg?​400|umkehrintegrator.jpg}}</​WRAP>​
 +
 +Die erste aktive Filterschaltung,​ welche wir uns betrachten wollen, ergibt basiert auf dem invertierenden Verstärker. Wir wollen dabei aber den Widerstand der OPV-Ausgang mit dem invertierenden Eingang verbindet, durch einen Kondensator ersetzen. \\ Damit ergibt sich nebenstehendes Bild. Sehen Sie sich dazu auch die [[http://​www.falstad.com/​circuit/​circuitjs.html?​cct=$+1+0.000005+10.20027730826997+57+5+50%0Ag+96+224+96+272+0%0Aw+336+112+336+160+0%0Aw+192+112+192+144+0%0Aa+192+160+336+160+8+15+-15+1000000+0+0+100000%0Ac+192+112+336+112+0+0.0000058+0.001%0AO+336+160+400+160+0%0Av+96+224+96+160+0+2+40+5+0+3.141592653589793+0.5%0Av+96+160+96+112+0+2+80+2+0+0+0.5%0Ap+128+224+128+112+0+0%0Aw+96+224+128+224+0%0Aw+96+112+128+112+0%0Ar+128+112+192+112+0+1000%0Ag+192+176+192+192+0%0Ao+8+32+0+4098+10+0.00009765625+0+1+input%0Ao+5+32+0+4098+2.75+0.00009765625+1+1+integral%0A|Simulation in Falstad]] an.
 +
 +Genauso wie in bei den Grundschaltungen wollen wir nun verstehen, wie der Ausgangswert von Eingangswert abhängt. Wie wir gleich sehen werden, scheint es etwas schwer einen festen Verstärkungsfaktor anzugeben.
 +
 +$A_v = ? \quad -> \quad U_A = f(U_E) $
 +
 +=== gegebene Gleichungen ===
 +
 +Gegeben sind folgende Gleichungen:​
 +
 +|I.|Grundgleichung|$U_A = A_D \cdot U_D$|
 +|II.|Masche 1|$ -U_E+U_R-U_D=0 $|
 +|III.|Masche 2|$U_D+U_C+U_A=0$|
 +|IV.|Knoten|$I_R=I_C$|
 +|V.|Kapazität C|$C= { Q \over U_C } = { 1 \over U_C }\cdot(\int_{t_0}^{t_1} I_C dt+ Q_0(t_0)) $|
 +|VI.|Widerstand R|$R = { U_R \over I_R }$|
 +
 +=== Herleitung ===
 +
 +|$U_A = f(U_E)$|mit III.| |
 +|$U_A=\color{blue}{-U_D}-U_C$|mit II. \\ und I.|$ \color{blue}{U_D} = { 1 \over A_D } \cdot U_A \overset{A_D -> \infty}\longrightarrow 0$|
 +|$U_A= \quad \quad 0 \quad -\color{blue}{U_C}$|mit V.|$\color{blue}{U_C}={ 1 \over C }\cdot(\int_{t_0}^{t_1} I_C \ dt+ Q_0(t_0))$|
 +|$U_A = -{ 1 \over C }\cdot(\int_{t_0}^{t_1} \color{blue}{I_C} \ dt+ Q_0(t_0)) $|mit IV.|$\color{blue}{I_C}=I_R$|
 +|$U_A = \color{blue}{-{ 1 \over C }\cdot(}\int_{t_0}^{t_1} I_R \ dt+ Q_0(t_0)\color{blue}{)} $|Ausklammern| |
 +|$U_A = -{ 1 \over C }\cdot\int_{t_0}^{t_1} I_R \ dt - \color{blue}{ Q_0(t_0) \over C } $|Integrationskonstante \\ betrachten|$\color{blue}{ Q_0(t_0) \over C }= U_C(t_0) = -U_{A0}$|
 +|$U_A = -{ 1 \over C }\cdot\int_{t_0}^{t_1} \color{blue}{I_R} \ dt + U_{A0}$|mit VI. und II.|$\color{blue}{I_R}={ U_R \over R}={ U_E \over R} $|
 +|$U_A = -{ 1 \over C }\cdot\int_{t_0}^{t_1} \color{blue}{1 \over R} \cdot U_E \ dt + U_{A0}$|Konstante vorziehen| |
 +|<WRAP hi>$U_A = -{ 1 \over {R\cdot C} }\cdot\int_{t_0}^{t_1} U_E \ dt + U_{A0}$</​WRAP>​| | |
 +
 +=== Ermittlung von Betrag und Phase ===
 +
 +Um Betrag und Phase ermitteln zu können betrachten wir im Folgenden rein sinusförmige Eingangs- und Ausgangsgrößen. Als Eingangsspannung $U_E$ nutzen wir:
 +
 +$ U_E(t)= \hat{U}_E \cdot sin(\omega \cdot t)$
 +
 +Diese Definition der Eingangsspannung können wir nun in die obige Gleichung für $U_A$ einsetzen:
 +
 +|$U_A = -{ 1 \over {R\cdot C} }\cdot\int_{t_0}^{t_1} \color{blue}{U_E(t)} \ dt + U_{A0}$|Sinusfunktion einsetzen|$ \color{blue}{U_E(t)}= \hat{U}_E \cdot sin(\omega \cdot t)$|
 +|$U_A = -{ 1 \over {R\cdot C} }\cdot\color{blue}{\int_{t_0}^{t_1} \hat{U}_E \cdot sin(\omega \cdot t) \ dt} + U_{A0}$|Stammfunktion mit Grenzen einsetzen|$\color{blue}{\int_{x_0}^{x_1} sin(a \cdot x) \ dx} = [- {1 \over a} \cdot cos(a \cdot x) ]_{x_0}^{x_1}$|
 +|$U_A = -{ 1 \over {R\cdot C} }\cdot [- \color{blue}{\hat{U}_E \over \omega} \cdot cos(\omega \cdot t) ]_{t_0}^{t_1} + U_{A0}$ ​ |Konstante vor Integral setzen| |
 +|$U_A = { 1 \over {R\cdot C} }\cdot {\hat{U}_E \over \omega} \cdot \color{blue}{[ cos(\omega \cdot t) ]_{t_0}^{t_1}} + U_{A0}$ ​ |Grenzwerte einsetzen|$t_0=0$,​ $t_1=t$|
 +|$U_A = { {\hat{U}_E } \over {\omega \cdot R\cdot C} } \cdot ( cos(\omega \cdot t) - \color{blue}{cos(0)} ) + U_{A0}$ ​ | |$\color{blue}{cos(0)}=1$|
 +|$U_A = \color{blue}{{{ \hat{U}_E } \over {\omega \cdot R\cdot C} } \cdot (} cos(\omega \cdot t) - 1 \color{blue}{)} + U_{A0}$ ​ |Ausmultiplizieren| |
 +|$U_A = { {\hat{U}_E } \over {\omega \cdot R\cdot C} } \cdot cos(\omega \cdot t) \color{blue}{-{ {\hat{U}_E } \over {\omega \cdot R\cdot C}} + U_{A0}}$ ​ |Betrachtung der nicht-Kosinus-Terme|Dieser Teil ist zeitlich unabhängig. Da wir von rein sinusförmigen Größen ausgehen, muss die für die anfängliche Spannung des Kondensators gelten: $U_{C0} = U_{A0}={{\hat{U}_E} \over {\omega \cdot R\cdot C}}$|
 +|<WRAP hi>${U_A = { {\hat{U}_E } \over {\omega \cdot R\cdot C} } \cdot cos(\omega \cdot t)}$</​WRAP>​| | |
 +
 +Der __**Betrag**__ ​ $|A_v|$ ist über das Amplitudenverhältnis von $\hat{U}_A \over \hat{U}_E$ gegeben: $$|A_v|={\hat{U}_A \over \hat{U}_E} = {1 \over {\omega \cdot R\cdot C}} $$
 +
 +Die __**Phase**__ ​ lässt sich aus dem "​Versatz"​ zwischen dem Sinus der Eingangsspannung $U_E$ und dem Cosinus der Ausgangsspannung $U_A$ ermitteln: $$\varphi = 90°$$
 +
 +Wir wollen noch kurz das __**Verhalten des Betrags $|A_v|$**__ ​ in Bezug auf die Kreisfrequenz $\omega$ in den Extremfällen für niedrige (${\omega}\rightarrow 0$) und hohe Frequenzen (${\omega}\rightarrow \infty$) betrachten:
 +
 +$$ |A_v({\omega}\rightarrow 0)| \quad=\quad\Big|{1 \over {\color{blue}{\omega} \cdot R\cdot C}}\Big| \quad\xrightarrow{\color{blue}{\omega}\rightarrow 0}\quad \infty$$ $$ |A_v({\omega}\rightarrow\infty)| \quad=\quad\Big|{1 \over {\color{blue}{\omega} \cdot R\cdot C}}\Big| \quad\xrightarrow{\color{blue}{\omega}\rightarrow\infty}\quad 0$$
 +
 +++++Aufgabe 3.2.1. Umkehrdifferentiator|
 +
 +<WRAP center round help 80%>
 +
 +==== Aufgabe 3.2.1. Umkehrdifferentiator ====
 +
 +<WRAP right> {{  :​umkehrdifferentiator.jpg?​300|umkehrdifferentiator.jpg}} \\ {{  :​vorgabezeitverlaufumkehrdifferentiator.jpg?​300|vorgabezeitverlaufumkehrdifferentiator.jpg}}</​WRAP>​
 +
 +Leiten Sie für den rechts dargestellten Umkehrdifferentiator die komplexe Spannungsverstärkung,​ sowie deren Betrag und Phase mittels komplexer Rechnung wie oben dargestellt her. Zeichnen Sie zusätzlich ein passendes Bode-Diagramm
 +
 +  - Schaltungsanalyse mittels Differentialgleichung
 +  - Ermittlung von Betrag und Phase aus Differentialgleichung (incl. Betrachtung der Extremfälle)
 +  - Beispiel eines Signal-Zeit-Verlaufs mit: $R = 10 k\Omega$ und $C = 2µF$ und $U_E$ wie rechts dargestellt
 +  - Schaltungsanalyse mittels komplexer Rechnung
 +  - Betrachtung von Betrag und Phase für $\omega \rightarrow 0$ und $\omega \rightarrow \infty$
 +  - Frequenzgang (Bode-Diagramm) für Schaltung mit: $R = 10 k\Omega$ und $C = 16nF$
 +
 +</​WRAP>​
 +++++
 +====== 3.3 Tiefpass ======
 +
 +++++Aufgabe 3.3.1 Tiefpass 1. Ordnung|
 +
 +<WRAP center round help 80%>
 +
 +==== Aufgabe 3.3.1 Tiefpass 1. Ordnung ====
 +
 +Bevor der Tiefpass in der Vorlesung durchgesprochen wird, sollen hier bereits die Grundlagen dazu gelegt werden.
 +versuchen Sie folgende Fragen zu beantworten: ​
 +  - Welchen Amplitudengang erwarten Sie für einen Tiefpass?
 +  - Untersuchen Sie folgende [[http://​www.falstad.com/​circuit/​circuitjs.html?​cct=$+1+5.0000000000000004e-8+19.867427341514983+59+5+50%0Ag+96+176+96+192+0%0Aw+336+112+336+160+0%0Aw+192+80+192+112+0%0Aw+192+112+192+144+0%0Aa+192+160+336+160+8+15+-15+1000000+-0.0000066077435286038724+0+100000%0Ac+192+112+272+112+0+1e-8+-0.6607809606039158%0AO+336+160+400+160+0%0Aw+96+64+128+64+0%0Ar+128+64+192+64+0+1000%0Av+96+64+96+176+0+2+7900+1+0+0.017453292519943295+0.5%0Ar+224+64+272+64+0+3000%0Aw+336+64+336+112+0%0Aw+192+64+192+80+0%0As+272+64+336+64+0+0+false%0Ag+192+176+192+192+0%0Aw+224+64+192+64+0%0As+272+112+336+112+0+0+false%0Ax+349+108+378+111+4+24+S2%0Ax+348+71+377+74+4+24+S1%0Ao+6+32+0+12290+2.7611289785013886+0.0001+0+3+7+0+7+3+integral%0A38+9+3+1000+70000+Frequency%0A|Simulation in Falstad]]. In der Schaltung kann mit den Schalter S1 und S2 ein Teil des Rückkoppelpfades deaktiviert werden. ​
 +    - Wie heißen die Schaltungen,​ welche sich ergeben, wenn jeweils nur ein Schalter geschlossen ist? 
 +    - Zunächst sollen beide Schalter geschlossen sein. Wie ändert sich die Amplitude der ausgegebenen Spannung (grüne Linie im Oszilloskop),​ wenn Sie über den Schieberegler rechts die Frequenz der Eingangsspannung ändern? ​
 +    - Nun soll die Situation mit beiden Schaltern geschlossen mit der Situation jeweils nur ein Schalter geschlossen verglichen werden. Stellen Sie dazu zunächst eine höhere Frequenz ein (z.B. 20...30 kHz) und vergleichen Sie S1=S2=geschlossen mit nur einem Schalter geschlossen. ​
 +
 +
 +</​WRAP>​
 +
 +++++
 +
 +
 +++++Aufgabe 3.3.2 Hochpass 1. Ordnung|
 +
 +<WRAP center round help 80%>
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 +==== Aufgabe 3.3.2 Hochpass 1. Ordnung ====
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 +<WRAP right> {{  :​hochpass.jpg?​300|hochpass.jpg}}</​WRAP>​
 +
 +In der Vorlesung haben wir die Verstärkung $A_V$ des Tiefpasses 1. Ordnung auf Basis seiner Schaltung hergeleitet. In gleicher Weise soll nun die Verstärkung für einen Hochpass hergeleitet werden.
 +
 +  - Verhalten von Betrag und Phase für $\omega \rightarrow 0$ und $\omega \rightarrow \infty$
 +  - Erwartetes Bode-Diagramm
 +  - RC-Glied und Grenzfrequenz
 +  - Schaltungsanalyse mit komplexer Rechnung
 +  - Berechnung von Betrag und Phase
 +
 +</​WRAP>​
 +
 +++++
 +
 +====== Lernfragen ======
 +
 +  * Was beeinflusst die Anstiegszeit einer Verstärkerschaltung?​
 +  * Worin unterscheiden sich idealer und realer Operationsverstärker?​
 +
 +\\
 +
  
4_block_-_filterschaltungen_i.txt · Last modified: 2019/05/02 01:10 by tfischer